NAMA : LA ODE AWAL RAMADHAN
NPM :
17 630 067
TUGAS 12 : STATISTIK/PROBABILITAS
METODE NEWTON
Jika Anda pernah mencoba untuk menemukan akar fungsi rumit aljabar, Anda mungkin memiliki beberapa kesulitan. Menggunakan beberapa konsep dasar kalkulus, kita memiliki cara numerik mengevaluasi akar fungsi rumit. Umumnya, kita menggunakan metode Newton-Raphson. Ini proses berulang-ulang mengikuti pedoman yang ditetapkan untuk mendekati satu akar, mengingat fungsi, turunan, dan nilai x-awal.
Anda mungkin ingat dari aljabar bahwa akar dari sebuah fungsi adalah nol dari fungsi. Ini berarti bahwa pada "akar" fungsi sama dengan nol. Kita dapat menemukan akar dari fungsi sederhana seperti: f (x) = x 2 -4 hanya dengan menetapkan fungsi ke nol, dan memecahkan:
f (x) = x 2 -4 = 0
(X +2) (x-2) = 0
x = 2 atau x = -2
Metode Newton-Raphson menggunakan proses berulang-ulang untuk mendekati salah satu akar fungsi. Akar khusus yang menempatkan proses tergantung pada, nilai x-awal sewenang-wenang dipilih.
Di sini, x n adalah dikenal saat ini x-nilai, f (x n) merupakan nilai fungsi pada x n, dan f '(x n) adalah turunan (slope) pada x n. x n +1 merupakan berikutnya x-nilai yang Anda mencoba untuk menemukan. Pada dasarnya, f '(x), derivatif merupakan f (x) / dx (dx = delta-x). Oleh karena itu, istilah f (x) / f '(x) merupakan nilai dx.
Iterasi lebih yang dijalankan, dx dekat akan menjadi nol (0). Untuk melihat bagaimana ini bekerja, kita akan melakukan metode Newton-Raphson pada fungsi yang kita diselidiki sebelumnya, f (x) = x 2 -4. Dibawah ini adalah beberapa nilai-nilai yang kita perlu tahu untuk menyelesaikan proses.
Secara teoritis, kita bisa mengeksekusi jumlah tak terbatas iterasi untuk menemukan representasi yang sempurna untuk akar fungsi kita. Namun, ini adalah metode numerik yang kita gunakan untuk mengurangi beban menemukan akar, jadi kami tidak ingin melakukan ini. Oleh karena itu kita akan mengasumsikan bahwa proses telah bekerja secara akurat saat kami delta-x menjadi kurang dari 0,1. Ini nilai presisi harus spesifik untuk setiap situasi. A jauh lebih, atau nilai, apalagi tepat mungkin tepat bila menggunakan metode Newton-Raphson di kelas. Tabel di bawah ini menunjukkan pelaksanaan proses.
n
x n
f (x n)
f '(x n)
x n +1
dx
0
x = 0 6
f (x 0 = 32)
f '(x 0 = 12)
x 1 = 3,33
1
x 1 = 3,33
f (x 1) = 7.09
f '(x 1) = 6.66
x 2 = 2,27
dx = 1,06
2
x 2 = 2,27
f (x 2) = 1,15
f '(x 2) = 4,54
x 3 = 2,01
dx = .26
3
x 3 = 2,01
f (x 3) = 0,04
f '(x 3) = 4,02
x 4 = 2,00
dx = 0,01
Dengan demikian, menggunakan nilai x-awal enam (6) kita menemukan satu akar persamaan f (x) = x 2 -4 adalah x = 2. Jika kita memilih nilai x-berbeda inital, kita dapat menemukan akar yang sama, atau kita dapat menemukan yang lain, x = -2.
Sebuah representasi grafis juga dapat sangat membantu. Di bawah ini, Anda lihat fungsi yang sama f (x) = x 2 -4 (ditampilkan dalam warna biru). Proses di sini adalah sama seperti di atas. Dalam putaran pertama, garis merah bersinggungan dengan kurva pada x 0. Kemiringan garis singgung adalah derivatif pada titik singgung, dan untuk iterasi pertama adalah sama dengan 12. Membagi nilai fungsi pada x awal (f (6) = 32) dengan kemiringan tangen (12), kita menemukan bahwa delta-x adalah sama dengan 2,67. Pengurangan ini dari enam (6) kita menemukan bahwa baru x-nilai sama dengan 3,33. Cara lain dari mengingat ini adalah untuk menemukan akar dari garis singgung. Baru x-nilai (x n +1) akan sama dengan akar bersinggungan dengan fungsi pada saat x-nilai (x n).
Metode Newton-Raphson tidak selalu bekerja, namun. Ini berjalan ke masalah di beberapa tempat. Pertama, perhatikan contoh di atas. Apa yang akan terjadi jika kita memilih sebuah x nilai awal x = 0? Kami akan memiliki "pembagian dengan nol" kesalahan, dan tidak akan mampu untuk melanjutkan. Anda juga dapat mempertimbangkan operasi proses pada fungsi f (x) = x 1/3, menggunakan nilai x-inital dari x = 1. Apakah x-nilai konvergen? Apakah penurunan delta-x menuju nol (0)?
Jadi, bagaimana hal ini berhubungan dengan kimia? Pertimbangkan van der Waals persamaan ditemukan di bagian Gas Hukum teks ini. Dengan asumsi bahwa kita memiliki sejumlah set mol gas set, tidak di bawah kondisi ideal, kita dapat menggunakan metode Newton-Raphson untuk memecahkan salah satu dari tiga variabel (suhu, tekanan, atau volume), berdasarkan pada dua lainnya. Untuk melakukan hal ini, kita perlu menggunakan van der Waals persamaan, dan turunan dari persamaan ini, keduanya terlihat di bawah.
Seperti yang Anda lihat, Van der Waals persamaan cukup kompleks. Hal ini tidak mungkin untuk menyelesaikannya aljabar, sehingga metode numerik harus digunakan. Metode Newton-Raphson adalah cara termudah dan paling dapat diandalkan untuk memecahkan persamaan seperti ini, meskipun persamaan dan turunannya tampaknya cukup menakutkan.
Tergantung pada kondisi di mana Anda mencoba untuk memecahkan persamaan ini, beberapa variabel dapat berubah. Jadi, mungkin perlu untuk menggunakan derivatif parsial. Untuk keperluan contoh ini, kita mengasumsikan bahwa tekanan, temperatur, dan volume adalah satu-satunya hal berubah, dan bahwa nilai-nilai ini semua fungsi waktu. Hal ini untuk menghindari penggunaan turunan parsial, kita hanya membedakan semua variabel terhadap waktu, seperti yang ditunjukkan di atas. Beberapa manipulasi aljabar dan persamaan / atau turunannya mungkin diperlukan tergantung pada masalah tertentu yang harus dipecahkan. Diasumsikan bahwa semua variabel tapi satu yang ditetapkan, variabel yang digunakan dalam ekspresi untuk "x n +1" bahwa metode Newton menggunakan. Melakukan metode Newton pada persamaan ini berhasil akan memberikan nilai dari variabel yang memberikan solusi ketika variabel lainnya tetap konstan pada nilai-nilai yang Anda tentukan.
Contoh: Mari kita menemukan pendekatan untuk sampai sepuluh tempat desimal.
Perhatikan bahwa adalah bilangan irasional. Oleh karena itu urutan desimal yang mendefinisikan tidak akan berhenti. Jelas adalah nol-satunya f (x) = x 2 - 5 pada interval [1,3]. Lihat Gambar tersebut.
JIka menjadi perkiraan berturut-turut diperoleh melalui metode Newton. Kami memiliki
Mari kita mulai proses ini dengan mengambil x 1 = 2.
Hal ini sangat luar biasa bahwa hasil stabil selama lebih dari sepuluh tempat desimal setelah hanya 5 iterasi!
Contoh. Mari kita perkiraan satunya solusi untuk persamaan
Bahkan, melihat grafik kita dapat melihat bahwa persamaan ini memiliki satu solusi.
Solusi ini juga merupakan nol-satunya fungsi. Jadi sekarang kita melihat bagaimana metode Newton dapat digunakan untuk r perkiraan. Karena r adalah antara 0 dan Kami menetapkan x 1 = 1. Sisa dari urutan dihasilkan melalui rumus
Latihan
Tentukan salah satu akar persamaan nonlinier f(x)= X2 – 5x+6 dengan metode Newton Rapshon. Jika diketahui nilai awal x=0, toleransi galat relatif x adalah 0,002 serta ketelitian hingga 3 desimal.
Tentukan nilai
dengan menggunakan metode Newton Rapshon jika diketahui nilai awal x=3 dan ketelitian hingga 3 desimal.
